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复变函数论(双语)
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课程简介  
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课程简介

一、课程介绍

     作为大学数学系本科必修课程的《复变函数论》课程主要讲述解析函数的基本理论和有关方法,通常包括以下三方面内容:Cauchy积分理论、Weierstrase级数理论和Riemann共形映照理论。通过本课程的学习使学生了解近代复分析的基本思想,掌握复分析的基本理论和方法,具备运用复分析理论解决实积分相关问题的能力,并能运用所学的理论和方法指导中学相关内容的教学。它的基本理论、思想和方法能培养学生清晰的思维,严密的逻辑推理,熟练的计算和高度的抽象、分析、综合能力,这对学生毕业后从事数学、计算机及相关专业的深造、研究或参加工作将会终生受益。从理论体系上来说,复变函数是在充分运用数学分析知识的前提下,把有关实函数的连续、微分、积分、级数等理论延续拓广到复函数情形。然而这种延拓并非简单的平移,而是根据复数的特性,以及在此情形下出现的问题(诸如复数辐角的多值性,解析函数实虚部的相互制约性,解析变换的保角性等),经过严密系统的讨论研究,建立起自身的理论体系,创立了复变函数独特的思想方法,得到了一些在实函数情形下所没有的新结果(如解析函数的无穷可微性,解析函数零点的孤立性,非常数整函数的无界性等)。这些理论反过来又为解决实分析中的某些问题提供了有力的工具(如实积分的计算,幂级数收敛半径与奇点分布的关系,函数零点的分布等)。在其他数学分支中(如数论、代数、方程、概率论等),复变函数论也是常用的重要工具。在应用方面,复变函数己被广泛应用于物理学、天文学的研究,而它在流体力学、电学、机翼理论方面的应用,更是直接体现了复变函数论方法在解决实际问题中的重要性。由此可见,复变函数论不仅是提高学生数学素质的基础性课程,而且是解决实际问题的一门应用性课程。

复变函数的研究也是中国在国际数学中领先的研究方向之一。   

二、课程定位

根据教育部《信息与计算科学专业规范》和我校 “厚基础、强实践、求创新、高素养、重责任”的创新性应用型人才培养目标定位,数学系将信息与计算科学专业的培养目标定位为:培养具有良好的数学素养,掌握信息科学、计算科学和金融数学的基本理论、方法和技能,受到科学研究的初步训练,能运用所学知识和熟练的计算机技能解决信息处理、科学与工程计算、金融领域中的实际问题的高级应用型人才。多年来数学系坚持“强化数学基础、兼顾学科交叉、注重创新应用”的办学理念,走“数学、金融、经济、精算、统计、计算机技术”等多学科交叉之路,培养经济社会发展需要的具有较强社会适应力和就业竞争力的“应用型人才”。

《复变函数论》是我院信息与计算科学专业学生必修的一门专业基础课程,是学好其它后续课程的基础和工具,学好“复变函数论”这门课程,对于学习其他后续课程,如数学建模、数学物理方程等都是十分有益的。

通过《复变函数论》的教学,学生能对复变函数发展的全貌,对复变函数的思想和方法形成的背景,以及复变函数在数学发展中的作用有一个整体的了解,摆脱“只见树木不见森林”的课程模式。

在复变函数论的学习过程中,使学生逐步提高数学修养,掌握数学研究的基本思想方法,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高,同时极大的扩展学生的学习思路,使他们了解更多的应用知识,特别是和现代生活息息相关的数学应用知识。

并且通过《复变函数论》双语课程的学习,使学生掌握先进的专业知识及其应用,能灵活地运用英语工具,并在学习学科知识的过程中培养和提高专业外语语言应用能力,培养学生自主和应用型学习意识,促进学生创新能力和综合素质的全面提升,启发学生进行自主性和探究性学习,为创新型社会培养合格的国际型人才。

通过《复变函数论》的教学,我们努力使学生能对复变函数发展的全貌,对复变函数的思想和方法形成的背景,以及复变函数在数学发展中的作用有一个整体的了解,摆脱“只见树木不见森林”的课程模式。

三、课程沿革

   《复变函数论》最初在03年被评为学校首批优秀课程,近几年来,我们紧紧围绕提高教学质量这个中心,做了许多有实效的工作:并且加强了教材等教学资源的建设:积极实施考试改革,使之更加符合教学实际,提高了测试效能:加强了教学资源的建设和推广使用,带动了师资队伍水平的提高。在2007年6月学校组织的精品课程及优秀课程验收中,以优秀课程中第一名的成绩顺利通过验收,被授予校级优秀课程称号;在2005年,《复变函数论》课程被授予校级双语示范课程;在2009年,《复变函数论》双语课程被评为山东省首批双语示范课程。

    本课程拟以《复变函数论》双语教学为平台,吸收国外先进的教学思想和教学理念,培养学生自主和应用型学习意识,促进学生创新能力和综合素质的全面提升,构建全方位和多员化的《复变函数论》双语教学体系。构建一支由4人组成的专业能力和英语语言能力均强的高素质主讲教师队伍。不断深化《复变函数论》双语教学体系的改革,全方位构建学科知识与专业英语知识并重的教学资源,不断更新教学内容,不断探索和实践新的教学方法和手段,推进现代化信息技术在双语教学中的应用,不断加强和实践提高学牛英语应用能力和综合素质,逐步建立和完善突出学生能力的课程成绩评定方法,逐步加强和完善课程效果评价体系和制度,将《复变函数论》双语课程建成一门“学科知识与应用型英语知识相融合、学科基础与学科前沿相融合、知识传授与能力培养和素质培养相融合,双语教学特色鲜明”,在省内院校中处于领先地位,具有辐射作用的双语示范课程。该双语课程,拟使学生的专业学科知识和外语语言知识得到同步增长,实现对学生思维基础、智能结构、文化素养等综合素质的培养和提高,达到“使学牛成为具有国际视野、具有跟踪国际上复变函数论学科科学与技术发展前沿的能力,具有进行学术交流能力的创新性人才”培养的总体目标。

四、教学内容选择与安排

    1.课程内容体系结构:复变函数论课程教学内容由以下六个部分组成:(1)复数与复变函数;(2)解析函数——柯西黎曼定理;(3)复变函数的积分——柯西定理、柯西积分公式与高阶导数公式;(4)级数——泰勒级数与洛朗级数;(5)留数计算及其应用;(6)保形映射。该课程讲授周学时4,共计72个学时,4个学分。

    2.教学内容组织方式与目的:我们按照理论发展的自然轨迹,比较和数学分析学习中区别与联系,将教学内容重新组织为以下六个部分:(1)复数与复变函数;(2)利用可微性研究函数——解析函数;(3)利用积分研究函数——柯西积分定理与公式;(4)利用离散形式(级数)研究函数——泰勒级数与洛朗级数;(5)利用几何研究函数——保形映射;(6)留数计算及其应用。通过合理安排教学内容,从更高的一个层次开展教学,使整个教学活动化抽象为具体,也使整个内容易教易学,提高本课程教学效率与水平。目的:在复变函数论的学习过程中使学生逐步提高数学修养,掌握数学研究的基本思想方法,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高,同时极大的扩展学生的学习思路,使他们了解更多的应用知识,特别是和现代生活息息相关的数学应用知识。

    3.实践性教学的设计思想与效果:在教学实施中,从课堂讲授、习题课、辅导答疑和作业批改等环节入手,达到教学目的。课堂讲授在讲解基本概念、展示方法和传授知识的同时,要站在更高的角度组织教学活动,如通过和其它数学学科的比较(类比),引入新的数学思想,又如通过物理、几何思想,加深学生对具体概念、定理的理解深度;习题课是对课堂教学的延伸,补充和巩固;辅导答疑则是答疑解惑和个性培养的必要环节;学生独立完成相当数量的课外作业,并由辅导教师全面认真地批改,也是一不可或缺的实践性教学手段,是培养学生独立分析、解决问题的能力的重要手段,必须予以足够重视。

    4.溶入数学建模思想:配合本院的“数学建模与实验”课程,把数学和建模结合起来,充分调动和发挥了主讲老师的积极性,进一步增强了学生对该门课程的浓厚兴趣,激发了学生参与“大学生数学建模竞赛”  的积极性,

    本课程从教学内容的组织到教学方法的设计,坚持以学生为本、以能力为本,在继承的基础上发展、创新,逐步形成一整套踏准学生思维节奏、适应学生实际状况的教学体系。

英文原版教学内容:

Chapter I:  Complex Numbers   4Learning Time

1.Sums and products

2.Basic Algebraic Properties

3.Further Properties

4.Moduli

5.Complex Conjugates

6.Exponential Form

7.Products and Quotients in Exponential Form

8.Roots of complex Numbers

9.Examples

10.Regions in the Complex Plane

Chapter II: Analytic Functions   8Learning Time

1.Functions of a Cmplex Variables

2. Mappings

3. Mappings by the Exponential Function

4.Limts

5.Theorems on limts

6.Limts Involving the Point at Infinity

7.Continuity,

8.Derivatives,

9.Cauchy-Riemann Equations,

10.Sufficient Conditions for Differentiability,

11.Polar Coordinaties

12.Analytic Functions

13.Examples

14.Harmonic Functions.

15.Uniquely Determined Analysis Functions

16.Reflection Principle

ChapterIII: Elementary Functions   4 Learning Time

1.The Exponential Function

2.The Logarithmic Function

3.Branchs and Derivatives of Logarithms

4.Some Indentities Involving Logarithms

5.Complex Exponents

6.Trigonometric functions

 7.Hyperbolic functions

 8.Inverse  trigonometric and hyperbolic functions.

Chapter IV: Integrals   10Learning Time

1.Derivatives of Functions

2.Definite Integrals of Functions

3.Contours

4. Contour Integrals

5.Examples

6. Upper Bounds for Moduli of Contour Integrals

7. Antiderivatives

8. Examples

9.Cauchy-Goursat Theorem

10. Proof of the Cauchy-Goursat Theorem

11. Simply and Multiply Connected Domains

12.Cauchy Integral Formula

13.Derivatives of Analytic Functions

14.Liouville’s theorem and the Fundamental Theorem of Algebra

15.Maximum Modulus Principle.

ChapterV: Series    8Learning Time

1.Convergence of sequences

2. Convergence of series

3.Taylor series

4.Examples

5. Laurent Series

6.Examples

7. Absolute and Uniform Convergence of Power Series

8. Continuity of Sums of Power Series

9.Integration and Differentiation of Power Series

10. Uniqueness of Series Representations

11.Multiplication and Division of Power Series

ChapterVI   Residues and poles   8Learning Time

1.Residues

2.Cauchy’s residues theorem

3. Using a Single Residue

4.The three types of isolated singular points

5. Residues at Poles

6.Examples

7.Zeros of Analytic Functions

8.Zeros and Poles

ChapterVII: Applications of residues   10Learning Time

1.Evaluation of Improper Integrals

2.Examples

3. Improper Integrals from Fourier Analysis

4.Jordan’s Lamma

5. Indented paths

6.Definite Integrals involving Sines and Cosines

7.Argument principle

8.Rouche’s theorem

9.Inverse Laplace Transforms

ChapterVIII: Mapping by Elementary functions   8Learning Time

1.Linear transformations,

2. The transformation

3. Mappings by

4. Linear Fractional Transformations

5.Mappings of the Upper Half Plane

6. Mappings by  

7.Riemann Surfaces.

ChapterIX: Conformal mapping   12Learning Time

1.Preservation of angles

2.Harmonic conjugates

3.Comprehending

4.Scale factors

5.Local inverses

6.Transformations of boundary conditions

自编教材教学内容:

Chapter I  Complex Numbers and Functions    6Learning Time

1 Complex Numbers

  1.1 Complex Number Field

  1.2 Complex Plane

  1.3. Modulus, Conjugation, Argument, Polar Representation

  1.4 Powers and Roots of Complex Numbers

2 Regions in the Complex Plane

  2.1 Some Basic Concept

  2.2 Domain and Jordan Curve 

3 Functions of a Complex Variable

  3.1 The Concept of Functions of a Complex Variable

  3.2 Limits and Continuous

4 The extended complex plane and the point at infinity

  4.1 The Spherical Representation, The Extended Complex Plane

  4.2 Some Concepts in the Extended Complex Plane

 ChapterⅡ Analytic Functions        10Learning Time

1 The Concept of the Analytic Function

  1.1 The Derivative of the Functions of a Complex Variable

  1.2 Analytic Functions

2 Cauchy-Riemann Equations

 3 Elementary Functions

  3.1 The Exponential Function

  3.2 Trigonometric Functions

  3.3 Hyperbolic Functions

4 Multi-Valued Functions

4.1 The Logarithmic Function

  4.2 Complex Power Functions

  4.3 Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions

Chapter III  Complex Integration    12Learning Time

1 The Concept of Contour Integrals

  1.1 Integral of a Complex Function over a Real Interval

  1.2 Contour Integrals

2 Cauchy-Goursat Theorem

  2.1 Cauchy-Goursat Theorem

  2.2 Cauchy Integral Formula

  2.3 Derivatives of Analytic Functions

  2.4 Liouville’s Theorem and the Fundamental Theorem of Algebra

  3 Harmonic Functions

Chapter IV  Series         10Learning Time

1 Basic Properties of Series

1.1 Convergence of Sequences

1.2 Convergence of Series

1.3 Uniform convergence

2 Power Series

3 Taylor Series

4 Laurent Series

5 Zeros of Analytic Functions and Uniquely Determined Analytic Functions

  5.1 Zeros of Analytic Functions

5.2 Uniquely Determined Analytic Functions

5.3 Maximum Modulus Principle

6 The Three Types of Isolated Singular Points at a Finite Point 

7 The Three Types of Isolated Singular Points at a Infinite Point

Chapter V  Calculus of Residues     20Learning Time

1 Residues

1.1 Residues

1.2 Cauchy’s Residue Theorem

1.3 To Evaluate the Residue

2 Applications of Residue

  2.1 The Type of Definite Integral

  2.2 The Type of Improper Integral

  2.3 The Type of Improper Integral  or

 3 Argument Principle

Chapter VI  Conformal Mappings      6Learning Time

1 Analytic transformation

1.1 Preservation of Domains of Analytic Transformation

  1.2 Conformality of Analytic Transformation 

2 Rational Functions

  2.1 Polynomials

  2.2 Rational Functions

3 Fractional Linear Transformations

  4 Elementary Conformal mappings

5 The Riemann Mapping Theorem

通过多年持续不断的努力,我院的复变函数论课程无论从教学内容、教学方法,还是从教学手段上都得到了很大程度的提高,我们的课程在省内外同类课程中是处于相对领先的位置。

 


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